Ortografia moderna

La palabra "normal" tiene que escribirse entrecomillada en todos los casos.
Ejemplos:
Era una chica "normal".
Vivía en un país "normal".
Había sido un día "normal".
Lo "normal" es decir la verdad.

Por lo tanto el sustantivo "normalidad" sigue la misma regla y se entrecomilla siempre.
Ejemplos:
Ese chico vivia en total "normalidad".

Otras palabras que siempre debemos entrecomillar son:

"Siempre", "Nunca" y "Verdad"

Ejemplos:
"Siempre" te querré.
"Nunca" te dejaré.
Yo siempre cuento la "verdad".